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Bases et conventions

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Ben, pour quoi faire ?

Comme le laisse entendre la rubrique précédente, il existe un grand nombre de conventions concernant les calculs d'intérêts.

De ce fait, il peut être parfois très difficile de comparer 2 opérations utilisant des méthodes de calcul différentes.

Pour les cas simples, on peut éventuellement se contenter de calculer le taux équivalent de l'une des opérations par rapport à l'autre et donc effectuer une comparaison immédiate.

Néanmoins dans le cas d'opérations plus complexes, il devient difficile d'établir ce genre d'équivalence. Dans ce cas on utilise de préférence une méthode standard connue par tous. La plus répandue actuellement est celle dite du taux (de rendement) actuariel.

Le taux actuariel d'une opération est le taux d'intérêt composé annuel, équivalent au taux nominal de l'opération et rendant identique pour les 2 méthodes, les flux payés et reçus.

Pour parler un peu plus simplement, le calcul actuariel se base sur 2 hypothèses :

  • Les coupons (intérêts de fin de période) sont replacés au taux actuariel lui-même. On parle de courbe de taux plate, c'est à dire que les taux ont la même valeur pour toutes les échéances.
  • La base de calcul est de type Exact/Exact.

On va donc être amené à comparer les valeurs actuelles et futures d'une opération (quel enchaînement !) 

Valeur actuelle et future

En intérêts simples

Pour un prêt :

  • La valeur actuelle (Va) est le montant versé au départ. On parle également de valeur actualisée.
  • La valeur future (Vf) est le montant reçu à la fin. On parle également de valeur capitalisée.

Pour un emprunt :

  • La valeur actuelle (Va) est le montant reçu au départ.
  • La valeur future (Vf) est le montant versé à la fin.

D'où la relation, Vf = Va + i (i représente le montant des intérêts).

En intérêts composés

Si on se réfère à la rubrique précédente et en considérant que le capital de l'opération est remboursé en une fois à la fin, on peut écrire la formule suivante :

Formule de la valeur future

Avec :
Va, le montant traité,
i, le taux d'intérêt par période,
n, le nombre de périodes,
Vf, la valeur future.

On peut bien sûr en déduire la valeur actuelle ...

Formule de la valeur actuelle

... ainsi que le taux (connaissant Va et Vf) ...

Formule brute du taux

... soit après simplification.

Formule simplifiée du taux

Encore plus fort

Dans certains cas, on peut avoir besoin de calculer la valeur future de plusieurs flux.

Si les flux sont égaux et versés chaque fin de période, alors on démontre que la valeur future de ces flux est la somme des valeurs futures de chacun des flux.

Si on pose :
a, le flux versé chaque fin de période,
i, le taux d'intérêt par période,
n, le nombre de périodes.

On a, Vf = a + a(1+i) + a(1+i)2 + ... + a(1+i)n-1

Ou encore, Vf = a[1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)n-1]

Pour ceux qui conservent quelques connaissances mathématiques, la somme entre crochets représente la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme = 1, de raison = 1+i et comprenant n termes.

Ce qui donne la formule suivante :

Formule de la valeur future de plusieurs flux

De même, on peut avoir besoin de calculer la valeur actuelle.

En gardant les mêmes notations et en suivant un raisonnement identique, alors on démontre que la valeur actuelle de plusieurs flux est la somme des valeurs actuelles de chacun des flux.

On aboutit alors à la formule suivante :

Formule de la valeur actuelle de plusieurs flux

Exemple

Pour calculer un taux actuariel, il est nécessaire de connaître les flux de l'opération ainsi que les dates auxquelles ils sont versés.

Supposons qu'une opération comporte les flux suivants :

  • Un engagement de 15 000 EUR
  • 3 remboursements de 5 500 EUR tous les ans pendant 3 ans à partir de la première année.

On peut donc écrire l'égalité suivante :

Formule d 'égalité des flux

Toute bonne calculatrice financière ou même tout simplement Excel (fonction TAUX pour une version française), donne le résultat suivant : i = 4,921%

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