Bases et conventions

Pour réaliser certains de ces calculs, il est également nécessaire de connaître les bases de calcul des intérêts.

Intérêts simples

La méthode de calcul des intérêts simples est couramment utilisée sur les produits dont la durée initiale est inférieure ou égale à 1 an. 

Définition

Des intérêts sont dits simples lorsqu'ils sont proportionnels au capital initial, au taux de la période de référence et à la durée ramenée à la période de référence. On parle aussi de calcul linéaire ou proportionnel.

On peut poser la formule suivante :

• M = Montant traité
• T = Taux d'intérêt par période
• N = Nombre de périodes
• i = Montant de l'intérêt
• alors, i = M x T x N

Attention à bien exprimer N et T en unité de temps comparable. Exemple : si T annuel alors N en année (ou fraction d'année), si T mensuel alors N en mois, etc.

Exemple :

• Soit un emprunt de 50 000 USD sur 3 mois au taux mensuel de 0,48% (0,0048).
• On a : i = 50 000 x 0,0048 x 3
• Soit, i = 720 USD

On remarquera que T représente le taux « réel », c'est à dire par exemple 0,0325 pour un taux « facial » de 3,25%. 

Si le taux et la durée ne sont pas exprimés sur la même référence, il faut ramener la durée à la période de référence. 

Exemple :

• Soit un emprunt de 50 000 USD sur 75 jours au taux annuel de 3,125% (0,03125). Le taux étant exprimé sur une base annuelle, la durée sera ramenée à une base annuelle, c'est à dire à une fraction d'année.
• On a : i = 50 000 x 0,03125 x (75/360)
• Soit, i = 325,52 USD

Taux proportionnels

On appelle taux proportionnels, 2 taux qui sont proportionnels à la période sur laquelle ils sont exprimés.

Exemple :

• 0,48% mensuel
• 5,76% annuel

Taux équivalents

On appelle taux équivalents, 2 taux dont l'utilisation permet d'obtenir à l'issue de la même période, la même valeur finale.

On notera qu'en intérêt simple, 2 taux proportionnels sont également équivalents.

En effet :

• Soit un emprunt de 50 000 USD sur 12 mois au taux mensuel de 0,48% (0,0048).
• On a : i = 50 000 x 12 x 0,0048 = 2 880 USD
• Soit un emprunt de 50 000 USD sur 12 mois au taux annuel de 5,76% (0,0576).
• On a : i = 50 000 x 0,0576 = 2 880 USD

• Sur les marchés, on trouve des taux sur la semaine, le 1 mois, le 6 mois.
• Tous ces taux sont exprimés en base annuelle et s'appliquent sur la période considérée.
• Dans ce cas, le calcul des intérêts sera réalisé en ramenant le taux à un jour et en tenant compte du nombre de jours exact de la période considérée.
• C'est ici qu'intervient la notion de Bases de calcul.

Intérêts composés

Principe

Des intérêts sont dits composés ou capitalisés lorsqu'à la fin de chaque période, les intérêts de la période, au lieu d'être versés, sont réintégrés au capital et portent eux-même intérêts pour la période suivante. On parle de calcul composé ou exponentiel.

Exemple :

• Soit un emprunt de 10 000 USD sur 3 ans au taux annuel de 5% (0,05).
• Intérêts de la 1ère année : 10 000 x 0,05 = 500
  Nouveau capital portant intérêt : 10 000 + 500 = 10 500
• Intérêts de la 2ème année : 10 500 x 0,05 = 525
  Nouveau capital portant intérêt : 10 500 + 525 = 11 025
• Intérêts de la 3ème année : 11 025 x 0,05 = 551,25
  On obtient donc un montant final de 11 025 + 551,25 = 11 576,25 USD
• En intérêts simples, on aurait eu 10 000 + (10 000 x 3 x 0,05) = 11 500 USD

On remarquera qu'il est possible d'obtenir directement le montant final en effectuant l'opération suivante :

10 000 x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) ou encore 10 000 x (1 + 0,05)³ 

 On peut donc en déduire la formule générale :

• Mo = Montant d'origine
• t = Taux d'intérêt par période
• n = Nombre de périodes
• Mf = Montant final
• on a, Mf = Mo x (1 + t)ⁿ

On remarquera qu'ici c'est le montant final (capital + intérêts) qui est calculé et non le seul montant des intérêts. Néanmoins, il est aisé de trouver directement le montant des intérêts en appliquant la formule suivante :

• I = Mo x [(1 + t)ⁿ-1]

Cette méthode de calcul utilise la convention dite du taux actuariel (voir rubrique suivante).

Taux équivalents

Reprenons l'exemple des intérêts équivalents présenté au chapitre intérêts simples :

• Soit les 2 taux équivalents suivant : 0,48% mensuel et 5,76% sur 12 mois
• Sur un an, on obtient avec le premier taux
  Mf = Mo x (1 + 0,0048)¹² = Mo x 1,0591
• Sur un an on obtient avec le deuxième taux
  Mf = Mo x (1 + 0,0576) = Mo x 1,0576

On voit donc sur cet exemple :

• Que 2 taux proportionnels ne sont pas équivalents en intérêts composés.
• Que le taux annuel équivalent à un taux mensuel de 0,48% est de 5,91%.

Mode de paiement des intérêts

Il existe 3 conventions de paiement des intérêts :

• Soit à la fin (ex-post) : intérêts postcomptés (on parle aussi d'intérêts in fine ou encore à terme échu), leur paiement intervient avec le remboursement du capital en fin de période.
  Mo = M (nominal)
  Mf = Mo [1+ ( Durée x Taux)]
  En résumé, pour un capital C, on paie à l'échéance C + intérêts.
• Soit au début (ex-ante) : intérêts précomptés (on parle aussi de terme à échoir), le montant des intérêts est calculé par rapport au montant nominal mais payé d'avance.
  Mf = M (nominal)
  Mo + (Mo x Durée x Taux) = Mf
  Soit : Mo = Mf / [1 + (Durée x Taux)]
• Soit d'avance (peu utilisé en dehors de l'escompte) : leur montant est calculé à partir du montant nominal (qui est le montant remboursé) dont ils sont retranchés pour calculer la valeur prêtée
  Mf = M (nominal)
  Mo = Mf [1 - (Durée x Taux)]
  En résumé, on paiera à l'échéance un capital C pour disposer de C - intérêts.

Comme on peut le remarquer, le capital sur lequel porte le calcul n'est pas forcément le capital initial.

Intérêts sur les marchés

Sur les marchés financiers, les taux présentés sont généralement des taux annuels.

Cela ne pose pas de difficulté pour les calculs portant sur un nombre entier d'années. Mais que se passe-t-il pour des fractions d'année ou pour les périodes de moins d'un an ?

Dans ce cas, le N des formules ci-dessus ne représente plus un nombre de période mais plutôt un coefficient mesurant le rapport entre le nombre de jours de la période et le nombre de jour de l'année. Par exemple une durée de 75 jours ramenée à une base annuelle sera égale à 75/360 (si la base de calcul est exact/360 - voir la remarque ci-dessous).

Il existe différentes conventions. Ainsi la durée de la période peut être calculée en nombre de jour exact, en durée fixe, le nombre de jour de l'année peut être 360, 365 ou 366 (voir à ce sujet les Bases de calcul).

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