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Qu'est-ce qu'une courbe de taux ?

Pour calculer le prix de certains produits, comme par exemple les swaps de taux, il est nécessaire de déterminer une courbe de taux particulière appelée courbe zéro-coupon. Cette courbe des taux permet de représenter la fonction suivie par les taux d'intérêts pour différentes échéances.

Pour construire cette courbe, on part du principe que les taux ont la même périodicité de règlement d'intérêts (détachement de coupons) et utilisent la même convention de calcul.

Malgré ce qui vient d'être dit, des investissements portant sur des périodes différentes n'auront pas les mêmes rendements.

Ces rendements sont matérialisés par l'ordonnée de la courbe, les abscisses représentant la durée de l'investissement.

Qu'est-ce qu'un taux zéro-coupon ?

Un instrument financier « zéro-coupon » est un instrument qui ne donne lieu à aucun paiement intermédiaire d'intérêts. On dit aussi qu'il n'y a pas de détachement de coupon intermédiaire.

On ne dispose donc que de 2 flux :

  • Un flux initial.
  • Un flux final de remboursement.

On appelle taux zéro-coupon, le taux actuariel de cet instrument. 

Méthode de calcul sur le cours terme

Sur le court terme, les instruments sont généralement de type zéro-coupon.

En effet sur le moins d'un an, le remboursement du capital intervient en même temps que le paiement des intérêts. On a donc bien 2 flux. Le problème se situe uniquement au niveau de la conversion du taux monétaire en base actuarielle :

Formule de transformation d'un taux monétaire en taux actuariel

Avec :
tm, le taux monétaire,
ta, le taux actuariel,
n, le nombre de jours du placement,
f, la fraction d'année du placement (base exact/exact).

Méthode de calcul sur le long terme

A partir du moment où l'on raisonne sur le plus d'un an, on se retrouve confronté au fait qu'interviennent généralement des règlements intermédiaires d'intérêts (détachement de coupons) généralement annuels.

Prenons un exemple : pour simplifier, nous raisonnerons sur un montant de départ de 100.

Supposons que l'on note les taux suivants sur le marché :

1 an = 3,50%
2 ans = 4,75 %
3 ans = 5,50%

Pour le an, le problème ne se pose pas car il n'y a pas de flux intermédiaire. On doit seulement vérifier qu'ils sont bien exprimés en base exact/exact (dans le cas contraire, on effectuera une conversion.

Pour le 2 ans, nous avons un flux intermédiaire :

Schéma des flux au delà du 1 an

Ce flux (4,75) devra être actualisé au taux zéro-coupon du 1 an (3,50%).

On se retrouve donc avec l'équation suivante :

Equation pour le calcul du taux zero coupon du 2 ans 

qui donne pour résultat tz2 = 4,78%

Pour le 3 ans, nous avons 2 flux intermédiaires. le premier flux doit être actualisé au taux zéro-coupon du 1 an et le deuxième flux au taux zéro-coupon du 2 ans.

on doit donc résoudre l'équation suivante :

Equation pour le calcul du taux zéro coupon du 3 ans

qui donne pour résultat tz3 = 5,57%

Les écart entre les taux « couponnés » ont été volontairement écartés afin de faire ressortir les résultats des calculs des taux zéro coupons.

Conclusion

Les calculs présentés ci-dessus montrent qu l'on peut ainsi, de proche en proche, déduire les taux zéro-coupon pour toutes les périodes.

Cet ensemble représentera ce que l'on appelle la courbe zéro-coupon :

Période Taux « couponnés » Taux zéro coupon
1 an 3,50% 3,50%
2 ans 4,75% 4,78%
3 ans 5,50% 5,57%

 

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